Question

已知⊙C經(jīng)過點(diǎn)A（2，4）、B（3，5）兩點(diǎn)，且圓心C在直線2x-y-2=0上．
（1）求⊙C的方程；
（2）若直線y=kx+3與⊙C總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，由⊙C經(jīng)過點(diǎn)A（2，4）、B（3，5）兩點(diǎn)，且圓心C在直線2x-y-2=0上，構(gòu)造關(guān)于D，E，F(xiàn)的三元一次方程組，解方程組后可得⊙C的方程；
（2）若直線y=kx+3與⊙C總有公共點(diǎn)，則聯(lián)立直線和圓的方程后，所得方程有根，即對應(yīng)的△≥0，解不等式可得實(shí)數(shù)k的取值范圍

解答：解：（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

22+42+2D+4E+F=0 32+52+3D+5E+F=0 2(- D 2 )-(- E 2 )-2=0

⇒

D=-6 E=-8 F=24

，…5分
所以⊙C方程為x²+y²-6x-8y+24=0．…6分
（2）：由

(x-3)2+(y-4)2=1 y=kx+3

⇒(1+k2)x2-(6+2k)x+9=0，…8分
因?yàn)橹本�y=kx+3與⊙C總有公共點(diǎn)，
則△=（6+2k）²-36（1+k²）≥0，…10分
解得0≤k≤

3

4

．…12分

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知構(gòu)造方程組，（2）的關(guān)鍵是分析出聯(lián)立方程后，消元得到的方程有根．