精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x24
+y2=1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作y軸的垂線，垂足為N，線段QN的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的軌跡方程為
 
．
分析：點(diǎn)F2關(guān)于∠F1PF2的外角平分線PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′在直線F1P的延長(zhǎng)線上，故|F1Q′|=|PF1|+|PF2|=2a（橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)），又OQ是△F2F1Q′的中位線，故|OQ|=a，由此可以求點(diǎn)M的軌跡方程．
解答：解：點(diǎn)F2關(guān)于∠F1PF2的外角平分線PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′在直線F1P的延長(zhǎng)線上，故|F1Q′|=|PF1|+|PF2|=2a（橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)），
又OQ是△F2F1Q′的中位線，故|OQ|=2，
設(shè)M（x，y），則Q（2x，y），
所以有4x2+y2=4，
故答案為
y2
4
+x2=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要應(yīng)用角分線的性質(zhì)解決問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化為利用橢圓的定義，同時(shí)解題中利用了代入法求軌跡方程．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
4
+
y2
4
3
=1的弦PB過(guò)其中心O，點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，滿足
PA
•
PB
=0，|
PB
|=2|
PA
|．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若橢圓上存在兩點(diǎn)C、D（異于A、B兩點(diǎn)），且(
PC
|
PC
|
+
PD
|
PD
|
)•
OA
=0，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ使得
AB
=λ
CD
，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
4
+y2=1，弦AB所在直線方程為：x+2y-2=0，現(xiàn)隨機(jī)向橢圓內(nèi)丟一粒豆子，則豆子落在圖中陰影范圍內(nèi)的概率為
π-2
4π
π-2
4π
．
（橢圓的面積公式S=π•a•b，其中a是橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，b是橢圓短半軸長(zhǎng)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•武昌區(qū)模擬）如圖，已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線（非x軸）交橢圓于M、N兩點(diǎn)，右準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)K，左頂點(diǎn)為A．
（1）求證：KF平分∠MKN；
（2）直線AM、AN分別交準(zhǔn)線l于點(diǎn)P、Q，設(shè)直線MN的傾斜角為θ，試用θ表示線段PQ的長(zhǎng)度|PQ|，并求|PQ|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•甘肅三模）如圖，已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為-
1
4
，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）記△GFD的面積為S1，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S2．試問(wèn)：是否存在直線AB，使得S1=S2？說(shuō)明理由．

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