Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2bx+c，若f（x）=0有兩個(gè)根x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．
（1）求b，c滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域；
（2）若令g（x）=bx²+2cx，其中x∈[1，2]，求證：-10≤g(x)≤-

1

2

．

Answer 1

（1）x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．則有f（-1）≥0，

f（0）≤0，f（1）≤0，f（2）≥0，故有：

2b-c-1≤0 c≤0 2b+c+1≤0 4b+c+4≥0

如圖中陰影部分，即是滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域．
（II） 由（I）知，當(dāng)（b，c）=（0，-1），即b=0時(shí)，
g（x）=bx²+2cx=-2x，再由x∈[1，2]，
可得-4≤g（x）≤-2．
當(dāng)b≠0時(shí)，g（x）圖象為開(kāi)口向下的拋物線，
對(duì)稱軸為 -

c

b

≤0，
所以g（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，g（x）_min =g（2）=4b+4c，g（x）_max =g（1）=b+2c．
又由（1）利用線性規(guī)劃的知識(shí)可得，-10≤4b+4c≤-2，-

9

2

≤b+2c≤-

1

2

，
∴-10≤g(x)≤-

1

2

．