Question

已知函數(shù)y=lg（1+tx-x²）的定義域?yàn)镸，其中t∈R．
（1）若t=

3

2

，求函數(shù)f（x）=3•4^x-2^x+2在M上的最小值及相應(yīng)的x的值；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈M函數(shù)g（x）=

2x-t

x2+1

滿(mǎn)足|g（x₁）-g（x₂）|＜3，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）t=

3

2

時(shí)，求出函數(shù)y的定義域M，判定f（x）在M上的單調(diào)性與最值情況，求出結(jié)果；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)判定函數(shù)g（x）在M上的單調(diào)性，求出|g（x₁）-g（x₂）|的表達(dá)式，根據(jù)題中條件求出t的取值范圍．

解答：解：（1）t=

3

2

時(shí)，函數(shù)y=lg（1+tx-x²）的定義域?yàn)?span id="bn7fl97" class="MathJye">1+

3

2

 x-x2＞0，解得-

1

2

＜x＜2，即M=(-

1

2

，  2)．
∵f（x）=3•4^x-2^x+2=3•（2^x）²-4•2^x，
令2^x=t，則

2

2

＜t＜4，f(x)=g(t)=3t2-4t=3(t-

2

3

)2+

4

3

，
∴g（t）在(

2

2

，  4)上是增函數(shù)．
∴g（t）在(

2

2

，  4)上無(wú)最小值，即f（x）在M上無(wú)最小值．
（2）∵函數(shù)g（x）=

2x-t

x2+1

，∴g′(x)=

2(1+tx-x2)

(x2+1)2

＞0，
∴g（x）在M上是增函數(shù)； 
設(shè)1+tx-x²=0的兩根為α，β（α＜β），則α+β=t，αβ=-1，M=（α，β）；
∴g(β)-g(α)=

2β-t

β2+1

-

2α-t

α2+1

=

(2β-t)(α2+1)-(2α-t)(β2+1)

(α2+1)(β2+1)

=

2αβ(α-β)-2(α-β)-t(α-β)(α+β)

(αβ)2+(α+β)2-2αβ+1

=

-4(α-β)-t2(α-β)

4+t2

=β-α
=

(α+β)2-4αβ

=

t2+4

．
由題意知，要使原不等式恒成立，只需

t2+4

＜3，
解得t∈[-

5

，   

5

]；
∴t的取值范圍是[-

5

，

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合函數(shù)的定義域與值域、單調(diào)性等綜合性知識(shí)，是容易出錯(cuò)的題目．