Question

命題p：函數(shù)y=log₂（x²-2x）的單調(diào)增區(qū)間是[1，+∞），命題q：函數(shù)y=

1

3x+1

的值域?yàn)椋?，1），下列命題是真命題的為（　　）

Answer 1

分析：求出函數(shù)y=log₂（x²-2x）的定義域，找出定義域內(nèi)的內(nèi)層函數(shù)t=x²-2x的增區(qū)間，結(jié)合外層函數(shù)y=log₂t的單調(diào)性求出函數(shù)y=log₂（x²-2x）的單調(diào)增區(qū)間，從而判斷出命題p的真假，利用指數(shù)函數(shù)的值域求出函數(shù)y=

1

3x+1

的值域，判斷出命題q的真假，最后結(jié)合復(fù)合命題的真假判斷得到正確的結(jié)論．

解答：解：令t=x²-2x，則函數(shù)y=log₂（x²-2x）化為y=log₂t，
由x²-2x＞0，得：x＜0或x＞2，
所以，函數(shù)y=log₂（x²-2x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（2，+∞）．
函數(shù)t=x²-2x的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，且對(duì)稱軸方程為x=1，
所以，函數(shù)t=x²-2x在定義域內(nèi)的增區(qū)間為（2，+∞）．
又因?yàn)楹瘮?shù)為y=log₂t是增函數(shù)，所以，復(fù)合函數(shù)y=log₂（x²-2x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞）．
所以，命題p為假命題；
再由3^x＞0，得3^x+1＞1，
所以0＜

1

3x+1

＜1，
所以，函數(shù)y=

1

3x+1

的值域?yàn)椋?，1），
故命題q為真命題．
所以p∧q為假命題，pVq為真命題，p∧（￢q）為假命題，￢q為假命題．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合命題真假的判斷，考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解方法，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”，命題p中的函數(shù)是對(duì)數(shù)型的函數(shù)，求解時(shí)一定要注意定義域，這是該題易出錯(cuò)的地方，此題是中檔題．