Question

若曲線y=x⁴+x在P點(diǎn)處的切線與直線3x+y=0平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是     ．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)切點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=m處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，建立等量關(guān)系，解之即可求出m，然后將切點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線解析式即可求出n．
解答：解：設(shè)切點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）
y'|_x=m=（4x³+1）|_x=m=4m³+1
∵曲線y=x⁴+x在P點(diǎn)處的切線與直線3x+y=0平行
∴4m³+1=-3解得：m=-1
切點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，n）在曲線y=x⁴+x上，則n=0
故P點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0）
故答案為：（-1，0）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及兩條直線平行的判定，屬于基礎(chǔ)題．