Question

如圖，函數(shù)g（x）=xf（x）+x³-1的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=-

1

2

x-2，且f（x）也是可導(dǎo)函數(shù)，則f（-2）+f（-2）等于

 

．

Answer 1

分析：求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)圖象可知切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-2，把x=-2代入導(dǎo)函數(shù)中得到一個(gè)關(guān)系式，記作（*），又把x=-2代入切線方程求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，確定出切點(diǎn)坐標(biāo)，把求出的切點(diǎn)坐標(biāo)代入g（x）中，即可求出f（-2）的值，然后把求出的f（-2）的值代入（*）中即可求出f′（-2）的值，進(jìn)而求出f（-2）+f′（-2）的值．

解答：解：求導(dǎo)得：g′（x）=f（x）+xf′（x）+3x²，
把x=-2代入得：g′（-2）=f（-2）-2f′（-2）+12=-

1

2

（*），
把x=-2代入切線方程得：y=-1，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），即g（-2）=-2f（-2）-9=-1，
解得：f（-2）=-4，
把f（-2）=-4代入（*）得：-4-2f′（-2）+12=-

1

2

，
解得：f′（-2）=

17

4

，
則f（-2）+f′（-2）=-4+

17

4

=

1

4

．
故答案為：

1

4

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)函數(shù)圖象得到切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是本題的突破點(diǎn)，解此類題的思路是采用數(shù)形結(jié)合的思想．同時(shí)要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法則及直線與曲線交點(diǎn)的特點(diǎn)，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率．