Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F重合，且橢圓的離心率是$\frac{1}{2}$，如圖所示．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）拋物線的準(zhǔn)線與橢圓在第二象限相交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作拋物線的切線l，l與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得F（1，0），即c=1，再通過e=$\frac{1}{2}$及c²=a²-b²計(jì)算可得橢圓的方程；
（2）將準(zhǔn)線方程代入橢圓方程，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，求得拋物線的切線方程，由△=0，求得k的值，分別代入橢圓方程，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得線段AB的長．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得F（1，0），∴c=1，
又e=$\frac{1}{2}$，∴a=2，∴b²=a²-c²=3，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
由A位于第二象限，則A（-1，$\frac{3}{2}$），
過點(diǎn)A作拋物線的切線l的方程為：$\frac{3}{2}y=4×\frac{x+（-1）}{2}$
即直線l：4x-3y-4=0
由$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y-4=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$整理得
整理得：ky²-4y+4k+6=0，
當(dāng)k=0，解得：y=$\frac{3}{2}$，不符合題意，
當(dāng)k≠0，由直線與拋物線相切，則△=0，
∴（-4）²-4k（4k+6）=0，解得：k=$\frac{1}{2}$或k=-2，
當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，直線l的方程y-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}（x+1）}\end{array}\right.$，整理得：（x+1）²=0，
直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，
當(dāng)k=-2時(shí)，直線l的方程為y-$\frac{3}{2}$=-2（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y-\frac{3}{2}=-2（x+1）}\end{array}\right.$，整理得：19x²+8x-11=0，解得：x₁=-1，x₂=$\frac{11}{19}$，
則y₁=$\frac{3}{2}$，y₂=-$\frac{63}{38}$，
由以上可知點(diǎn)A（-1，$\frac{3}{2}$），B（$\frac{11}{19}$，-$\frac{63}{38}$），
∴丨AB丨=$\sqrt{[\frac{11}{19}-（-1）]^{2}+（-\frac{63}{38}-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{30\sqrt{5}}{19}$，
綜上可知：線段AB長度為$\frac{30\sqrt{5}}{19}$

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線及橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．