Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點，O 為AE的中點，F(xiàn)是AB 的中點．以AE為折痕將△ADE向上折起，使面DAE⊥面ABCE．
（Ⅰ）求證：OF∥面BDE；
（Ⅱ）求證：AD⊥面BDE；
（Ⅲ）求三棱錐D-BCE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）O為AE的中點，F(xiàn)是AB的中點，根據(jù)中位線定理可知OF∥BE，而BE?面BDE，OF?面BDE，滿足線面平行的判定定理所需條件，可證得結(jié)論；
（II）根據(jù)面DAE⊥面ABCE，BE⊥AE，由面面垂直的性質(zhì)可知BE⊥面ADE，而AD?面ADE，由線面垂直的性質(zhì)可知BE⊥AD，AD⊥DE，且DE∩BE=E，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；
（III）根據(jù)DA=DE，OA=OE可知DO⊥AE，而面DAE⊥面ABCE，則DO⊥面ABCE，DO即為三棱錐D-BCE的高，最后根據(jù)棱錐的體積公式解之即可．
解答：解：（I）∵O為AE的中點，F(xiàn)是AB的中點，
∴OF∥BE …（2分）
又∵BE?面BDE，OF?面BDE，
∴OF∥面BDE    …（4分）
（II）∵面DAE⊥面ABCE，BE⊥AE
∴BE⊥面ADE，AD?面ADE
∴BE⊥AD  …（7分）
∵AD⊥DE，且DE∩BE=E，
∴AD⊥面BDE …（8分）
（III）∵DA=DE，OA=OE
∴DO⊥AE，
而面DAE⊥面ABCE，∴DO⊥面ABCE，…（10分）
V_D-BCE=S_BCE×OD=×2×=…（12分）
點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的判定和體積的度量，同時考查了翻折問題，注意翻折前后有些量不變是解題的關鍵，屬于中檔題．