Question

如圖，ABC－是正三棱柱，D是AC的中點．(1)求證：∥平面；(2)設(shè)M是BC的中點，當時，求證；(3)在(2)的條件下，若N是CM的中點，且NP∥，NP與交于P．求證∠DPN是二面角D－－C的平面角，并求出這個二面角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)連于O，如圖(1)，∵ABC－是正三棱柱，∴是矩形，O是的中點，∵D是AC的中點，∴DO∥，DO平面，平面，∴． 　　(2)∵△ABC是正三角形，∴AM⊥BC，∵平面ABC⊥平面，∴AM⊥平面，于是在平面內(nèi)的射影，由． 　　(3)在△AMC中，DN是中位線，DN∥AM，∴DN⊥平面，∵．據(jù)三垂線定理，，即∠DPN是二面角D－－C的平面角．設(shè)BC＝a，＝b(如圖(3))，由，得，即，在Rt△DNP中， 因此在Rt△DNP中，

提示：

在比較復雜的立幾問題中，會產(chǎn)生直觀圖“不直觀”，為此，可將其中在同一平面上的那部分移出來畫成平幾圖形，我們把這個過程稱為“平面化”，然后對這部分圖形利用平幾知識來處理．