Question

下面有六個命題：
①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}；
③在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點；
④函數(shù)y=tanx在其定義域上是單調遞增函數(shù)；
⑤函數(shù)y=sin（x-

π

2

）是偶函數(shù)；
⑥若

a

•

b

=0，則

a

=

0

或

b

=

0

；
其中真命題的序號是

 

（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,正弦函數(shù)的圖象,正切函數(shù)的單調性

專題：閱讀型,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：①運用平方差公式和二倍角的余弦公式，結合三角函數(shù)的周期公式即可判斷；②分終邊在y軸的正半軸和負半軸上，再合并即可判斷；③構造函數(shù)f（x）=sinx-x，通過求導判斷單調性，由f（0）=0，即可判斷；④根據(jù)正切函數(shù)的單調區(qū)間即可判斷；⑤運用誘導公式，結合正弦、余弦函數(shù)的奇偶性即可判斷；⑥運用向量的數(shù)量積的定義即可判斷．

解答： 解：①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）=sin²x-cos²x=-cos2x，故函數(shù)的最小正周期為π，故①正確；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=2kπ+

π

2

或2kπ+

3π

2

，k∈Z}={α|α=kπ+

π

2

，k∈Z}，故②錯；
③令f（x）=sinx-x，則f′（x）=cosx-1≤0，故f（x）是R上的單調遞減函數(shù)，且f（0）=0，故在同一坐標系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有且只有一個公共點，故③錯；
④函數(shù)y=tanx在（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

），k∈Z，內單調遞增，故④錯；
⑤函數(shù)y=sin（x-

π

2

）即y=-cosx，是偶函數(shù)，故⑤正確；
⑥若

a

•

b

=0，則

a

=

0

或

b

=

0

或

a

⊥

b

，故⑥錯．
故答案為：①⑤．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查三角函數(shù)的圖象與性質，考查函數(shù)的周期性、奇偶性、單調性，同時考查向量的數(shù)量積的定義，是一道基礎題．