【題目】已知函數(shù)f(x)=(-x2+x-1)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線;
(2)若方程f(x)=x3+x2+m有3個不同的根,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】見解析
【解析】(1)因為f(x)=(-x2+x-1)ex,
所以f′(x)=(-2x+1)ex+(-x2+x-1)ex=(-x2-x)ex.
所以曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為
k=f′(1)=-2e.
又f(1)=-e,
所以所求切線方程為y+e=-2e(x-1),即2ex+y-e=0.
(2)因為f′(x)=(-2x+1)ex+(-x2+x-1)ex=(-x2-x)ex,
當x<-1或x>0時,f′(x)<0;
當-1<x<0時,f′(x)>0,
所以f(x)=(-x2+x-1)ex在(-∞,-1)上單調遞減,在(-1,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減,
所以f(x)在x=-1處取得極小值f(-1)=-,在x=0處取得極大值f(0)=-1.
令g(x)=x3+x2+m,得g′(x)=x2+x.
當x<-1或x>0時,g′(x)>0;
當-1<x<0時,g′(x)<0,
所以g(x)在(-∞,-1)上單調遞增,在(-1,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.
故g(x)在x=-1處取得極大值g(-1)=+m,在x=0處取得極小值g(0)=m.
因為方程f(x)=x3+x2+m有3個不同的根,
即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有3個不同的交點,
所以,即.
所以--<m<-1.
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【題目】已知函數(shù) ,
(1)當時,求在區(qū)間上最大值和最小值;
(2)如果方程有三個不相等的實數(shù)解,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)(其中為常數(shù),).(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間;(Ⅱ)當時,是否存在實數(shù),使得當時,不等式恒成立?如果存在,求的取值范圍;如果不存在,請說明理由(其中是自然對數(shù)的底數(shù),).
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【題目】鹽化某廠決定采用以下方式對某塊鹽池進行開采:每天開采的量比上一天減少,10天后總量變?yōu)樵瓉淼囊话,為了維持生態(tài)平衡,剩余總量至少要保留原來的,已知到今天為止,剩余的總量是原來的.
(1)求的值;
(2)到今天為止,工廠已經開采了幾天?
(3)今后最多還能再開采多少天?
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【題目】已知函數(shù).現(xiàn)提供的大致圖像的8個選項:
(A)(B)(C)(D)
(E)(F)(G)(H)
(Ⅰ)請你作出選擇,你選的是( );
(Ⅱ)對于函數(shù)圖像的判斷,往往只需了解函數(shù)的基本性質.為了驗證你的選擇的正確性,請你解決下列問題:
①的定義域是 ;
②就奇偶性而言, 是 ;
③當時, 的符號為正還是負?并證明你的結論.
(解決了上述三個問題,你要調整你的選項,還來得及.)
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【題目】做投擲2個骰子試驗,用(x,y)表示點P的坐標,其中x表示第1個骰子出現(xiàn)的點數(shù),y表示第2個骰子出現(xiàn)的點數(shù).
(1)求點P在直線y=x上的概率.
(2)求點P不在直線y=x+1上的概率.
(3)求點P的坐標(x,y)滿足16<x2+y2≤25的概率.
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【題目】某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目的抽樣調查中,隨機抽取了100名電視觀眾,相關的數(shù)據如表所示:
類別 | 文藝節(jié)目 | 新聞節(jié)目 | 總計 |
20至40歲 | 40 | 18 | 58 |
大于40歲 | 15 | 27 | 42 |
總計 | 55 | 45 | 100 |
(1)由表中數(shù)據直觀分析,收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關?
(2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5名,則大于40歲的觀眾應該抽取幾名?
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