Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，將△ABD沿對(duì)角線BD折起．設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為A′，并且平面A′BD⊥平面BCD．給出下面四個(gè)命題：
①A′D⊥BC；
②三棱錐A′-BCD的體積為

2

2

；
③CD⊥平面A′BD；
④平面A′BC⊥平面A′DC．
其中正確命題的序號(hào)是（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①③
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意證出BD⊥DC，然后結(jié)合平面PBD⊥平面BCD利用線面垂直的性質(zhì)定理得CD⊥平面PBD，從而可判斷①③；
三棱錐A′-BCD的體積為

1

3

•

1

2

•

2

•

2

•

2

2

=

2

6

，可判斷②；
利用折疊前四邊形ABCD中的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系，可證BD⊥CD，再利用折疊后BCD平面PBD⊥平面，可證CD⊥平面PBD，從而證明CD⊥PB，再證明PB⊥平面PDC，然后利用線面垂直證明面面垂直．

解答： 解：①∵∠BAD=90°，AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∵AD∥BC，∠BCD=45°，
∴BD⊥DC，
∵平面A′BD⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面A′BD，
∵A′D?平面A′BD，
∴CD⊥A′D，故A′D⊥BC不成立；故①錯(cuò)誤；
②三棱錐A′-BCD的體積為

1

3

•

1

2

•

2

•

2

•

2

2

=

2

6

，故②不成立；
③由①知CD⊥平面A′BD，故③成立；
④折疊前，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BAD=90°，
∴△ABD為等腰直角三角形．
又∵∠BCD=45°，∠DBC=45°，
∴∠BDC=90°．
折疊后，∵平面BCD⊥平面A′BD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面A′BD．
又∵A′B?平面A′BD，
∴CD⊥A′B．
又A′B⊥A′D，A′D∩CD=D，
∴A′B⊥平面A′DC．又A′B?平面A′BC，
∴平面A′BC⊥平面A′DC．故④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)折疊性問(wèn)題，考查了面面垂直的性質(zhì)，面面垂直的判定，考查了體積的計(jì)算，關(guān)鍵是利用好直線與平面，平面與平面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．