已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，Sn=
1
a1
+
a2
+
1
a2
+
a3
+…+
1
an
+
an+1
．
（1）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為
3
2
的等差數(shù)列，求S67；
（2）若Sn=
n
a1
+
an+1
，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出an，考慮
1
an
+
an+1
=
2
3
（
an+1
-
an
），再化簡(jiǎn)Sn，再求S67；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=2時(shí)，化簡(jiǎn)得到a2-a3=a1-a2即a1，a2，a3成等差數(shù)列，令n=k時(shí)，且ak+1=a1+kd，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，即k（ak+2-ak+1）=ak+1-a1，由假設(shè)即得ak+2-ak+1=d，從而得證．
解答： （1）解：若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為
3
2
的等差數(shù)列，
則an=1+
3
2
(n-1)=
3
2
n-
1
2
，
則
1
an
+
an+1
=
an+1
-
an
an+1-an
=
2
3
（
an+1
-
an
），
則S67=
2
3
（-
a1
+
a2
-
a2
+
a3
+…+
a68
-
a67
）=
2
3
（
a68
-
a1
）
=
2
3
（
406
2
-1）．
（2）證明：當(dāng)n=2時(shí)，S2=
2
a1
+
a3
=
1
a1
+
a2
+
1
a2
+
a3

即
a2
-
a3
(
a1
+
a3
)(
a1
+
a2
)
=
a1
-
a2
(
a2
+
a3
)(
a1
+
a3
)

∴a2-a3=a1-a2即a1，a2，a3成等差數(shù)列
令n=k時(shí)，
1
a1
+
a2
+
1
a2
+
a3
+…+
1
ak
+
ak+1
=
k
a1
+
ak+1
且又{ak}為等差數(shù)列且ak+1=a1+kd
當(dāng)n=k+1時(shí)，
1
a1
+
a2
+
1
a2
+
a3
+…
1
ak
+
ak+1
+
1
ak+1
+
ak+2
=
k+1
a1
+
ak+2

即有
k
a1
+
ak+1
+
1
ak+1
+
ak+2
=
k+1
a1
+
ak+2

k•
ak+2
-
ak+1
(
a1
+
ak+1
)(
a1
+
ak+2
)
=
ak+1
-
a1
(
a1
+
ak+2
)(
ak+1
+
ak+2
)

即k（ak+2-ak+1）=ak+1-a1
∵ak+1=a1+kd即ak+2-ak+1=d
∴n=k+1時(shí)，{ak+1}也是等差數(shù)列，
綜上得，{an}是等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和裂項(xiàng)相消求和法，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題，注意解題步驟，注意運(yùn)用假設(shè)，本題屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題中，真命題是（　　）
A、存在x0∈R，sin2
x0
2
+cos2
x0
2
=
1
2
B、任意x∈（0，π），sinx＞cosx
C、任意x∈（0，+∞），x2+1＞x
D、存在x0∈R，x02+x0=-1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)向量
a
=（
3
sinx，sinx），
b
=（cosx，sinx），x∈[0，
π
2
]．
（1）若|
a
|=|
b
|，求x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
，求f（x）的最大值及單調(diào)遞增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，4），曲線在點(diǎn)M處的切線恰好與直線x+9y-3=0垂直．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖F1、F2為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右焦點(diǎn)，D、E是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，S△DEF2=1-
3
2
．若點(diǎn)M（x0，y0）在橢圓C上，則點(diǎn)N（
x0
a
，
y0
b
）稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”，直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P、Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）問(wèn)是否存在過(guò)左焦點(diǎn)F1，的直線l，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．例如：f（x）=x2+x-1在R上存在x=1，滿足f（-1）=-f（1），故稱f（x）=x2+x-1為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知二次函數(shù)f（x）=ax2+2bx-4a（a，b∈R），試判斷f（x）是否為“局部奇函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)f（x）=2x+m是定義在[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C 所對(duì)的邊分別為a、b、c，且a2+c2+ac=b2．
（1）求角B的大�。�
（2）若△ABC的面積為2
3
且sinA=2sinC，求a和c的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

兩人約定在20：00到21：00之間相見(jiàn)，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20：00到21：00各時(shí)刻相見(jiàn)的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=x2+3xf′（2），則f′（2）=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案