Question

已知函數(shù)f（x）=-x-x³，實數(shù)α、β、γ滿足α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，則f（α）+f（β）+f（γ）的值（ ）
A．恒為正數(shù)
B．恒為負數(shù)
C．恒等于零
D．可能為正，也可能為負

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)的解析式可得函數(shù)是奇函數(shù)，并且根據(jù)導數(shù)可得函數(shù)是減函數(shù)，所以根據(jù)題意α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，可得α＞-β，β＞-γ，γ＞-α，進而結合函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調性即可得到答案．
解答：解：由題意可得：函數(shù)f（x）=-x-x³，
所以函數(shù)的定義域為R，并且有f（-x）=x+x³=-f（x）
所以函數(shù)f（x）是定義域內的奇函數(shù)．
又因為f′（x）=-1-3x²＜0，所以函數(shù)f（x）=-x-x³在R上是減函數(shù)．
因為實數(shù)α、β、γ滿足α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，
所以α＞-β，β＞-γ，γ＞-α，
所以f（α）＜f（-β）=-f（β）…①，
f（β）＜f（-γ）=-f（γ）…②，
f（γ）＜f（-α）=-f（α）…③，
①+②+③并且整理可得：f（α）+f（β）+f（γ）＜0．
故選B．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數(shù)的有關性質，如奇偶性，單調性與周期性等．