Question

已知f（x）=2sinxcosx+2cos²x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的x值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由倍角公式化簡可得函數(shù)解析式為f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，由三角函數(shù)的周期性及其求法即可求解．
（Ⅱ）由已知可得2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的x值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

即有x=

π

8

時，f（x）_max=

2

+1，
當(dāng)2x+

π

4

=

5π

4

即有x=

π

2

時，f（x）_min=1-

2

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．