已知橢圓C：x2+數(shù)學公式=1，過點M（0，1）的直線l與橢圓C相交于兩點A、B．
（Ⅰ）若l與x軸相交于點P，且P為AM的中點，求直線l的方程；
（Ⅱ）設點N（0，數(shù)學公式），求|數(shù)學公式|的最大值．

（Ⅰ）解：設A（x1，y1），
因為P為AM的中點，且P的縱坐標為0，M的縱坐標為1，
所以，解得y1=-1，（1分）
又因為點A（x1，y1）在橢圓C上，
所以，即，解得，
則點A的坐標為（）或（-），
所以直線l的方程為，或．
（Ⅱ）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），
則，，
所以，
則，
當直線AB的斜率不存在時，
其方程為x=0，A（0，2），B（0，-2），此時；
當直線AB的斜率存在時，設其方程為y=kx+1，
由題設可得A、B的坐標是方程組的解，
消去y得（4+k2）x2+2kx-3=0，
所以△=（2k）2+12（4+k2）＞0，，
則，
所以
=，
當k=0時，等號成立，即此時取得最大值1．
綜上，當直線AB的方程為x=0或y=1時，有最大值1．
分析：（Ⅰ）設A（x1，y1），因為P為AM的中點，且P的縱坐標為0，M的縱坐標為1，所以y1=-1，又因為點A（x1，y1）在橢圓C上，所以，由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），則，，所以，則，由此進行分類討論，能推導出當直線AB的方程為x=0或y=1時，有最大值1．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的靈活運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)．
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1（a＞1）的離心率為e，點F為其下焦點，點A為其上頂點，過F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
與橢圓C相交于P，Q兩點，且滿足
AP
•
AQ
=
a2(a+c)2-1
2-c2
．
（1）試用a表示m2；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（
1
3
，
1
2
），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•棗莊二模）已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)的左頂點為A，右焦點為F，且過點（1，
3
2
），橢圓C的焦點與曲線2
x
2
 
-2
y
2
 
=1的焦點重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F任作橢圓C的一條弦PQ，直線AP、AQ分別交直線x=4于M、N兩點，點M、N的縱坐標分別為m、n．請問以線段MN為直徑的圓是否經(jīng)過x軸上的定點？若存在，求出定點的坐標，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）問的條件下，求以線段MN為直徑的圓的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•棗莊二模）已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)的左頂點為A，右焦點為F，且過點（1，
3
2
），橢圓C的焦點與曲線2
x
2
 
-2
y
2
 
=1的焦點重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F任作橢圓C的一條弦PQ，直線AP、AQ分別交直線x=4于M、N兩點，點M、N的縱坐標分別為m、n．請問以線段MN為直徑的圓是否經(jīng)過x軸上的定點？若存在，求出定意的坐標，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓c的左右焦點，點P在橢圓C上（不是頂點），△PF1F2內(nèi)一點G滿足3
PG
=
PF1
+
PF2
，其中
OG
=(
1
9
a，
6
9
a)．
（I）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若橢圓C短軸長為2
3
，過焦點F2的直線l與橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），若
AF2
=2
F2B
，求△F1AB面積．

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