Question

已知m，n，s，t∈R⁺，m+n=2，，其中m、n是常數(shù)，當(dāng)s+t取最小值時(shí)，m、n對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（m，n）是雙曲線一條弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為________．

Answer 1

x-2y+1=0
分析：由題設(shè)中所給的條件m+n=2，，其中m、n是常數(shù)，當(dāng)s+t取最小值時(shí)，求出點(diǎn)（m，n）的坐標(biāo)，由于此點(diǎn)是其所在弦的中點(diǎn)，故可以用點(diǎn)差法求出此弦所在直線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線的方程，整理成一般式即可．
解答：由已知得=，由于s+t的最小值是，因此，又m+n=2，所以m=n=1．設(shè)以點(diǎn)（m，n）為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），則有①．又該兩點(diǎn)在雙曲線上，則有，，兩式相減得②，把①代入②得，即所求直線的斜率是，所求直線的方程是，即x-2y+1=0．
故答案為x-2y+1=0
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，求解本題的關(guān)鍵有二，一是利用基本不等式與最值的關(guān)系求出參數(shù)的值，一是利用點(diǎn)差法與中點(diǎn)的性質(zhì)求出弦所在直線的斜率，點(diǎn)差法是知道中點(diǎn)的情況下常用的表示直線斜率的方法，其特征是有中點(diǎn)出現(xiàn)，做題時(shí)要善于運(yùn)用．