Question

已知函數(shù)f（x） 滿足f(x-1)=loga

x+1

3-x

(a＞0且a≠1)
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解不等式f（x）≥log_a2．

Answer 1

分析：（1）設(shè)t=x-1，則x=t+1，代入條件，即可求得函數(shù)解析式；
（2）確定函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的定義可得結(jié)論；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式f（x）≥log_a2等價(jià)于0＜

x+2

2-x

≤2，由此可得不等式的解集．

解答：解：（1）設(shè)t=x-1，則x=t+1，
∴f（t）=loga

t+2

2-t

（a＞0且a≠1），
∴f（x）=loga

x+2

2-x

（a＞0且a≠1）；
（2）由

x+2

2-x

＞0，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?2，2）
∵f（-x）=loga

-x+2

2+x

=-loga

x+2

2-x

=-f（x）
∴函數(shù)是奇函數(shù)；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式f（x）≥log_a2等價(jià)于0＜

x+2

2-x

≤2
∴-2＜x≤

2

3

即不等式f（x）≥log_a2的解集為（-2，

2

3

]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的奇偶性，考查解不等式，屬于中檔題．