Question

已知向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

cosx，

1

2

)，函數(shù)f(x)=(

m

+

n

)•

m

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T及單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A為銳角，a=2

3

，c=4且f（A）是函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)表示出

m

+

n

的坐標(biāo)，然后利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計算，列出函數(shù)f（x）的解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為]2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）將x=A代入（1）中確定出的f（x）解析式中，根據(jù)A的范圍，得出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的值域，得到f（A）取得最大值時A的度數(shù)，進(jìn)而得出sinA和cosA的值，由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將a，c及cosA的值代入求出c的值，再由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

cosx，

1

2

)，
∴

m

+

n

=（sinx+

3

cosx，

3

2

），
∴f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sin²x+

3

sinxcosx+

3

2

=

1

2

（1-cos2x）+

3

2

sin2x+

3

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2=sin（2x-

π

6

）+2，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（2）由（1）得f（A）=sin（2A-

π

6

）+2，
∵A∈[0，

π

2

]，∴2A-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2A-

π

6

）≤1，即

5

2

≤f（A）≤3，
∴當(dāng)2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時，f（A）的最大值為3，
又a=2

3

，c=4，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：12=b²+16-4b，即b²-4b+4=0，
整理得：（b-2）²=0，解得：b=2，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×4×

3

2

=2

3

．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．