Question

已知點(diǎn)P（3，2）及圓C：x²+y²-2x+2y-2=0．
（1）過P向圓C作切線，切點(diǎn)為A，B（A在B的左邊），求切線的方程；
（2）求切線長(zhǎng)|PA|，并求∠APB的正切；
（3）求直線AB的方程；
（4）求四邊形ACBP的面積．

Answer 1

【答案】分析：由（x-1）²+（y+1）²=4，可知圓心C（1，-1），半徑r=2
（1）設(shè)PA的斜率為k，則PA的方程為y-2=k（x-3），由點(diǎn)到直線的距離公式可得=2可求k，從而可求
（2）將x=3代入圓C可求B（3，-1），從而|PA|=|PB|=3，設(shè)PA的傾斜角為θ，則∠APB=90°-θ，由tanθ=k= 可求
（3）由=，及AB⊥PC可求，從而可求直線AB的方程
（4）依據(jù)對(duì)稱性可知S_ACBP=2S_△PBC=，代入可求
解答：解：將已知圓的方程化為（x-1）²+（y+1）²=4，圓心C（1，-1），半徑r=2（2分）（以下每題3分）
（1）設(shè)PA的斜率為k，則PA的方程為y-2=k（x-3），即kx-y-3k+2=0
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，=2
∴k=，由于過圓外一點(diǎn)P（3，2）作圓的切線有兩條
一條切線PB的斜率不存在，從而可得兩切線中，PA 的方程為5x-12y+9=0，PB的方程為x=3
∴兩切線方程分別為5x-12y+9=0和x=3
（2）將x=3代入圓C：：x²+y²-2x+2y-2=0．可得y=-1
∴B（3，-1），|PB|=3，從而|PA|=|PB|=3
又設(shè)PA的傾斜角為θ，則∠APB=90°-θ
∵tanθ=k=∴
（3）=，∵AB⊥PC
∴
∵B（3，-1）
∴直線AB的方程為y+1=（x-3）即2x+3y-3=0
（4）依據(jù)對(duì)稱性可知S_ACBP=2S_△PBC==3×2=6
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式，，直線的傾斜角與斜率的關(guān)系點(diǎn)到直線的距離公式，切線的性質(zhì)，勾股定理，以及直線的點(diǎn)斜式方程，利用了分類討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的題．