Question

在數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設(shè)c_n=n•2ⁿ⁺¹•a_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，只要是這個數(shù)列的后一項與前一項做差，證明差是一個定值，利用數(shù)列{a_n}的遞推式和兩個數(shù)列的關(guān)系式，根據(jù)首項和公差寫出通項，從而得到數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．
（2）根據(jù)前面做出的數(shù)列的通項，寫出一個新數(shù)列c_n=n•2ⁿ⁺¹•a_n，要求數(shù)列的和，觀察數(shù)列的通項的結(jié)構(gòu)特點，用錯位相減來求和，這是經(jīng)常考的一個求和方法．
解答：解：（1）證明：∵
=
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列
∵
∴b_n=2+（n-1）×2=2n
由
∴
（2）由（1）的結(jié)論得
∴S_n=2•2¹+3•2²+4•2³++（n+1）•2ⁿ①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴++n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2•2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹2
=2+2ⁿ⁺¹-2-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹
點評：有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學歸納法綜合在一起．