Question

已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，點(diǎn)P到直線（p是正常數(shù)）的距離為d₁，到點(diǎn)的距離為d₂，且d₁-d₂=1．（1）求動點(diǎn)P所在曲線C的方程；
（2）直線l 過點(diǎn)F且與曲線C交于不同兩點(diǎn)A、B，分別過A、B點(diǎn)作直線 的垂線，對應(yīng)的垂足分別為M、N，求證=；
（3）記S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FEN（A、B、M、N是（2）中的點(diǎn)），，求λ 的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)動點(diǎn)為P（x，y），依據(jù)題意，有，化簡得y²=2px，由此能求出動點(diǎn)P所在曲線C的方程．
（2）由題意可知，當(dāng)過點(diǎn)F的直線l（3）的斜率為0時，不合題意，故設(shè)直線l：x=my-1，聯(lián)立方程，可化為y²-2mpy-p²=0，再由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
（3）依據(jù)x₁+x₂=m（y₁+y₂）+p=2m²p+p，，知==，==p⁴（1+m²）．由此能得到λ 的值．
解答：解 （1）設(shè)動點(diǎn)為P（x，y），（1分）
依據(jù)題意，有，化簡得y²=2px．（4分）
因此，動點(diǎn)P所在曲線C的方程是：y²=2px．（6分）
（2）由題意可知，當(dāng)過點(diǎn)F的直線l（3）的斜率為0時，不合題意，
故可設(shè)直線l：x=my-1，如圖所示．（8分）
聯(lián)立方程組，可化為y²-2mpy-p²=0，
則點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標(biāo)滿足．（10分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得點(diǎn)、．
于是，，，
因此．（12分）
（3）依據(jù)（2）可算出x₁+x₂=m（y₁+y₂）+p=2m²p+p，，
則==，==p⁴（1+m²）．（16分）
所以，即為所求．（18分）
點(diǎn)評：本題考查直線 和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．