Question

已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）的圖象是拋物線的一部分，且該拋物線經(jīng)過點（1，0）、（3，0）和（0，3）．
（1）求出f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|y=t，x∈R，t∈R}，若A∩B有4個元素，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數(shù)的零點式，結(jié)合圖中三個已知點的坐標(biāo)求出：當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-4x+3．再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，解出x＜0和x=0時的表達(dá)式，即可得到f（x）的解析式；
（2）由函數(shù)單調(diào)區(qū)間的定義，結(jié)合函數(shù)的圖象即可寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）作出直線y=t并進(jìn)行平移，觀察它與函數(shù)y=f（x）的圖象公共點的個數(shù)，并結(jié)合計算函數(shù)的極值即可得出滿足條件的實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得
∵當(dāng)x＞0時，拋物線經(jīng)過點（1，0）、（3，0），
∴設(shè)函數(shù)解析式為f（x）=a（x-1）（x-3），（a≠0），
由點（0，3）在拋物線上，得
f（0）=a×（-1）×（-3）=3a=3，解之得a=1．．
∴當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-4x+3；
當(dāng)x＜0時，則-x＞0，可得f（-x）=（-x）²-4（-x）+3=x²+4x+3，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴當(dāng)x＞0時，f（x）=-f（-x）=-x²-4x-3，
結(jié)合當(dāng)x=0時，f（0）=0，可得f(x)=

x2-4x+3，x＞0 0，x=0 -x2-4x-3，x＜0

．
（2）由函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2]和[2，+∞）；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[-2，0）和（0，2]．
（3）由A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|y=t，x∈R，t∈R}，
可得A∩B的元素的個數(shù)，即為直線y=t與函數(shù)y=f（x）圖象公共點的個數(shù)．
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-4x+3在x=2時有最小值-1；當(dāng)x＞0時，f（x）=-x²-4x-3在x=-2時有最大值1
∴根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象，平移直線y=t可得
①當(dāng)t＞1或t＜-1時，直線y=t與函數(shù)圖象有2個公共點；
②當(dāng)t=±1時，直線y=t與函數(shù)圖象有3個公共點；
③當(dāng)t=0時，直線y=t與函數(shù)圖象有5個公共點；
④當(dāng)-1＜t＜1且t≠0時，直線y=t與函數(shù)圖象有4個公共點
由此可得滿足A∩B有4個元素的實數(shù)t的取值范圍為（-1，0）∪（0，1）．

點評：本題給出奇函數(shù)在x＞0時的圖象，求函數(shù)的表達(dá)式并討論函數(shù)的單調(diào)性．著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和函數(shù)解析式的求法等知識，屬于中檔題．