Question

出租車幾何學是由十九世紀的赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)立的．在出租車幾何學中，點還是形如（x，y）的有序實數對，直線還是滿足ax+by+c=0的所有（x，y）組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣．直角坐標系內任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）定義它們之間的一種“距離”：|AB|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，請解決以下問題：
（1）求線段x+y=2（x≥0，y≥0）上一點M（x，y）的距離到原點O（0，0）的“距離”；
（2）定義：“圓”是所有到定點“距離”為定值的點組成的圖形，求“圓周”上的所有點到點Q（a，b）的“距離”均為 r的“圓”方程；
（3）點A（1，3）、B（6，9），寫出線段AB的垂直平分線的軌跡方程并畫出大致圖象．（說明所給圖形小正方形的單位是1）

Answer 1

解：（1）∵任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）定義它們之間的一種“距離”：|AB|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，
∴線段x+y=2（x≥0，y≥0）上一點M（x，y）的距離到原點O（0，0）的“距離”：
MO=|x-0|+|y-0|=|x|+|y|=x+y=2．…（3分）
（2 ）∵“圓”是所有到定點“距離”為定值的點組成的圖形，
∴“圓周”上的所有點到點Q（a，b）的“距離”均為 r的“圓”方程為：
|x-a|+|y-b|=r…（6分）
（3）由已知條件得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|…（8分）
若x≤1，則y=8.5 …（10分）
若1≤x≤6，則x+y=9.5 …（12分）
若6≤x，則y=3.5 …（14分）
圖象如右圖所示．…（16分）
分析：（1）利用“距離”的定義能夠求出線段x+y=2（x≥0，y≥0）上一點M（x，y）的距離到原點O（0，0）的“距離”．
（2 ）利用“圓”的概念，能夠求出“圓周”上的所有點到點Q（a，b）的“距離”均為 r的“圓”的方程．
（3）由已知條件，得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9，由此能夠求出線段AB的垂直平分線的軌跡方程并畫出大致圖象．
點評：本題考查“距離”的定義，“圓”的概念，寫出線段AB的垂直平分線的軌跡方程并畫出大致圖象．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．