設(shè)f（z）=2z（cos
π
6
+icos
2π
3
），這里z是復(fù)數(shù)，用A表示原點(diǎn)，B表示f （1+
3
i）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，C表示點(diǎn)-4i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則∠ABC=
30°
30°
．
分析：先求得f （1+
3
i）=2
3
+2i，可得點(diǎn)B（2
3
，2）．再由點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得
BA
 和
BC
 的坐標(biāo)、模、以及 
BA
•
BC
 的值，再根據(jù) cos＜
BA
，
BC
＞=
BA
•
BC
|
BA
|•|
BC
|
 求得＜
BA
，
BC
＞的值，可得∠ABC的值．
解答：解：∵f（z）=2z（cos
π
6
+icos
2π
3
）=2z（
3
2
-
1
2
i），
∴f （1+
3
i）=2（1+
3
i）•（
3
2
-
1
2
i）=2
3
+2i，故點(diǎn)B（2
3
，2）．
再由點(diǎn)A（0，0），點(diǎn)C（0，-4），可得
BA
=（-2
3
，-2），
BC
=（-2
3
，-6），
∴
BA
•
BC
=12+12=24，|
BA
|=4，|
BC
|=4
3
，∴cos＜
BA
，
BC
＞=
BA
•
BC
|
BA
|•|
BC
|
=
3
2
，
∴＜
BA
，
BC
＞=30°，故∠ABC=30°，
故答案為 30°
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，兩個(gè)向量的夾角公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．
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[　　]

A．1＋i

B．1－i

C．－1＋i

D．－1－i

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設(shè)f（z）=2z（cos+icos），這里z是復(fù)數(shù)，用A表示原點(diǎn)，B表示f （1+i）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，C表示點(diǎn)-4i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則∠ABC=    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f(z)=2z(cos+icos)，這里z是復(fù)數(shù)，用A表示原點(diǎn)，B表示f(1+i)，C表示點(diǎn)-，則∠ABC=        。

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