8.已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx(a∈R,a為常數(shù))
(1)當(dāng)a=-1時(shí),若方程f(x)=$\frac{x}$有實(shí)根,求b的最小值;
(2)設(shè)F(x)=f(x)•e-x,若F(x)在區(qū)間(0,1]上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

分析 (1)把a(bǔ)=-1代入函數(shù)解析式,求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),求得原函數(shù)的最值,把f(x)=$\frac{x}$轉(zhuǎn)化為b=xf(x),則b的最小值可求;
(2)求出F′(x)=$\frac{-{x}^{2}+(2-a)x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$.設(shè)h(x)=$-{x}^{2}+(2-a)x+a-\frac{1}{x}+lnx$,可得h′(x)≥2-a.然后分a≤2和a>2研究F(x)在區(qū)間(0,1]上是否為單調(diào)函數(shù),從而求得a的取值范圍.

解答 解:(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x2+x-lnx,
f′(x)=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{(x-1)(2x+1)}{x}$.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)為減函數(shù);當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù).
∴f(x)≥f(1)=0.
由f(x)=$\frac{x}$,得b=xf(x),
又x>0,∴b≥0.
即b的最小值為0;
(2)F(x)=f(x)•e-x,
F′(x)=$\frac{-{x}^{2}+(2-a)x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$.
設(shè)h(x)=$-{x}^{2}+(2-a)x+a-\frac{1}{x}+lnx$.
則h′(x)=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}+2-a$,可知h′(x)在(0,1]上為減函數(shù).
從而h′(x)≥h′(1)=2-a.
①當(dāng)2-a≥0,即a≤2時(shí),h′(x)≥0,h(x)在區(qū)間(0,1]上為增函數(shù),
∵h(yuǎn)(1)=0,∴h(x)≤0在區(qū)間(0,1]上恒成立,即F′(x)≤0在區(qū)間(0,1]上恒成立.
∴F(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),故a≤2滿足題意;
②當(dāng)2-a<0,即a>2時(shí),設(shè)函數(shù)h′(x)的唯一零點(diǎn)為x0,則h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,1)上單調(diào)遞減.
又∵h(yuǎn)(1)=0,∴h(x0)>0.
∴F(x)在(x0,1)上單調(diào)遞增,
∵h(yuǎn)(e-a)<0,∴F(x)在(0,e-a)上遞減,這與F(x)在區(qū)間(0,1]上是單調(diào)函數(shù)矛盾.
∴a>2不合題意.
綜合①②得:a≤2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力,難度較大.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.曲線C1:ρsinθ-2=0,曲線C2:ρ-4cosθ=0,則曲線C1、C2的位置關(guān)系是( 。
A.相交B.相切C.重合D.相離

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19.已知函數(shù)f(x)=axlnx+b在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x-1,g(x)=λ(x-1)(其中λ為常數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若對(duì)任意x∈[1,+∞),不等式f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍;
(3)當(dāng)x>1時(shí),求證:[f(x-1)-(x-3)][f(ex)-3(ex-3)]≥9-e2(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$ (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$,且直線l經(jīng)過點(diǎn)F(-$\sqrt{2}$,0)
( I )求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為L(zhǎng),求L的最大值.

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3.在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}$(ϕ為參數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系.
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程是$2ρsin(θ+\frac{π}{3})=3\sqrt{3}$,射線$\sqrt{3}$x-y=0(x≥0)與圓C的交點(diǎn)為O,P,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長(zhǎng).

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13.下列參數(shù)方程中表示直線x+y-2=0的是( 。
A.$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\end{array}\right.(t$為參數(shù))B.$\left\{\begin{array}{l}x=1-\sqrt{t}\\ y=1+\sqrt{t}\end{array}\right.(t$為參數(shù))
C.$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-1-t\end{array}\right.(t$為參數(shù))D.$\left\{\begin{array}{l}x=1-{t^2}\\ y=1+{t^2}\end{array}\right.(t$為參數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.網(wǎng)購是當(dāng)前民眾購物的新方式,某公司為改進(jìn)營銷方式,隨機(jī)調(diào)查了100名市民,統(tǒng)計(jì)其周平均網(wǎng)購的次數(shù),并整理得到如下的頻數(shù)分布直方圖.這100名市民中,年齡不超過40歲的有65人將所抽樣本中周平均網(wǎng)購次數(shù)不小于4次的市民稱為網(wǎng)購迷,且已知其中有5名市民的年齡超過40歲.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為網(wǎng)購迷與年齡不超過40歲有關(guān)?
網(wǎng)購迷非網(wǎng)購迷合計(jì)
年齡不超過40歲
年齡超過40歲
合計(jì)
(2)若從網(wǎng)購迷中任意選取2名,求其中年齡丑啊過40歲的市民人數(shù)ξ的分布列與期望.
附:${k^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$;
P(K2≥k00.150.100.050.01
k02.0722.7063.8416.635

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+k.
(Ⅰ)若f(x)≥0有唯一解,求實(shí)數(shù)k的值;
(Ⅱ)證明:當(dāng)a≤1時(shí),x(f(x)+kx-k)<ex-ax2-1.
(附:ln2≈0.69,ln3≈1.10,${e^{\frac{3}{2}}}≈4.48$,e2≈7.39)

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6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,∠BAC=$\frac{π}{3}$,BB1-=3,則側(cè)棱BB1所在直線與平面AB1C1所成的角為( 。
A.$\frac{π}{12}$B.$\frac{π}{4}$C.$\frac{π}{3}$D.$\frac{π}{6}$

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