分析 (1)把a(bǔ)=-1代入函數(shù)解析式,求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),求得原函數(shù)的最值,把f(x)=$\frac{x}$轉(zhuǎn)化為b=xf(x),則b的最小值可求;
(2)求出F′(x)=$\frac{-{x}^{2}+(2-a)x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$.設(shè)h(x)=$-{x}^{2}+(2-a)x+a-\frac{1}{x}+lnx$,可得h′(x)≥2-a.然后分a≤2和a>2研究F(x)在區(qū)間(0,1]上是否為單調(diào)函數(shù),從而求得a的取值范圍.
解答 解:(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=x2+x-lnx,
f′(x)=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{(x-1)(2x+1)}{x}$.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)為減函數(shù);當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù).
∴f(x)≥f(1)=0.
由f(x)=$\frac{x}$,得b=xf(x),
又x>0,∴b≥0.
即b的最小值為0;
(2)F(x)=f(x)•e-x,
F′(x)=$\frac{-{x}^{2}+(2-a)x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$.
設(shè)h(x)=$-{x}^{2}+(2-a)x+a-\frac{1}{x}+lnx$.
則h′(x)=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}+2-a$,可知h′(x)在(0,1]上為減函數(shù).
從而h′(x)≥h′(1)=2-a.
①當(dāng)2-a≥0,即a≤2時(shí),h′(x)≥0,h(x)在區(qū)間(0,1]上為增函數(shù),
∵h(yuǎn)(1)=0,∴h(x)≤0在區(qū)間(0,1]上恒成立,即F′(x)≤0在區(qū)間(0,1]上恒成立.
∴F(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),故a≤2滿足題意;
②當(dāng)2-a<0,即a>2時(shí),設(shè)函數(shù)h′(x)的唯一零點(diǎn)為x0,則h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,1)上單調(diào)遞減.
又∵h(yuǎn)(1)=0,∴h(x0)>0.
∴F(x)在(x0,1)上單調(diào)遞增,
∵h(yuǎn)(e-a)<0,∴F(x)在(0,e-a)上遞減,這與F(x)在區(qū)間(0,1]上是單調(diào)函數(shù)矛盾.
∴a>2不合題意.
綜合①②得:a≤2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力,難度較大.
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A. | 相交 | B. | 相切 | C. | 重合 | D. | 相離 |
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A. | $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\end{array}\right.(t$為參數(shù)) | B. | $\left\{\begin{array}{l}x=1-\sqrt{t}\\ y=1+\sqrt{t}\end{array}\right.(t$為參數(shù)) | ||
C. | $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=-1-t\end{array}\right.(t$為參數(shù)) | D. | $\left\{\begin{array}{l}x=1-{t^2}\\ y=1+{t^2}\end{array}\right.(t$為參數(shù)) |
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網(wǎng)購迷 | 非網(wǎng)購迷 | 合計(jì) | |
年齡不超過40歲 | |||
年齡超過40歲 | |||
合計(jì) |
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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A. | $\frac{π}{12}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
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