Question

如圖，已知△ABC，BC=9cm，現(xiàn)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)甲、乙同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，甲沿路線C→B→A以每秒2cm的速度勻速向前移動(dòng)，乙沿路線C→A以每秒1cm的速度勻速向前移動(dòng)，當(dāng)甲到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，乙到達(dá)D點(diǎn)，并滿足，最后它們同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)．
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）設(shè)在t時(shí)刻，甲、乙分別到達(dá)E、F處，試確定△CEF的面積S與t的關(guān)系，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中△ABC中，BC=9cm，有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)甲、乙同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，甲沿路線C→B→A以每秒2cm的速度勻速向前移動(dòng)，乙沿路線C→A以每秒1cm的速度勻速向前移動(dòng)，當(dāng)甲到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，乙到達(dá)D點(diǎn)，并滿足，最后它們同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)．可能CB+CA=2AC，CB：AB=CD：CA=3：8，進(jìn)而求出AC，AB邊的長(zhǎng)，由余弦定理（或勾股定理）即可判斷△ABC的形狀；
（2）由于△CEF的形狀，在E點(diǎn)位于BC上或E點(diǎn)位于BA上時(shí)不同，故我們可以分當(dāng)甲在C→B的過(guò)程中時(shí)，和甲在B→A的過(guò)程中時(shí)，兩種情況進(jìn)行分類討論，確定出S與t的分段函數(shù)表達(dá)式，并根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，求出S的最大值．
解答：解：（1）如圖，由題意可得：CB+CA=2AC，CB：AB=CD：CA=3：8，
又∵BC=9cm，
∴，則AC=12，
從而可得AB=15，
∵AB²=AC²+BC²，
則△ABC是以AB為斜邊的直角三角形．-----（6分）
（2）當(dāng)甲在C→B的過(guò)程中時(shí)，△CEF是直角三角形，則它的面積為，-----（10分）
當(dāng)甲在B→A的過(guò)程中時(shí)，易知EF∥BD，
可知∠CFE=∠ADB=arctan2，令，
則AF=12-t，由EF∥BD得，
故△CEF的面積，
故----（16分）
易知當(dāng)時(shí)有最大值；當(dāng)t=6時(shí)有最大值，
故△CEF的面積的最大值為．--（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形形狀的確定，三角形面積公式，函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，分段函數(shù)，函數(shù)的最大值，是利用分段函數(shù)解答實(shí)際問(wèn)題的典型例子，其中（2）的關(guān)鍵是分析出E點(diǎn)位于BC上或E點(diǎn)位于BA上時(shí)△CEF的形狀不同，采用分段討論的方法是解答本題的關(guān)鍵．