Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+1-lnx．且在x=1處取得極值；
（Ⅰ）求a的值；并求函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的定義域，然后求導，利用導數(shù)的幾何意義求切線方程．
（Ⅱ）利用f'（x）＜0，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）要使函數(shù)有意義，則x＞0．
函數(shù)的導數(shù)為f′(x)=-2x+a-

1

x

，因為函數(shù)在x=1處取得極值，所以f'（1）=-2+a-1=0，解得a=3．
所以f（x）=-x²+3x+1-lnx，f′(x)=-2x+3-

1

x

，
所以f（2）=-4+6+1-ln2=3-ln2，f′(2)=-4+3-

1

2

=-

3

2

，
所以函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-(3-ln2)=-

3

2

(x-2)，即y=-

3

2

x+6+ln2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=-2x+3-

1

x

=

-2x2+3x-1

x

，
由f′(x)=

-2x2+3x-1

x

＞0，即2x²-3x+1＜0，解得

1

2

＜x＜1，
即函數(shù)的增區(qū)間為（

1

2

，1）．
由f′(x)=

-2x2+3x-1

x

＜0，得2x²-3x+1＞0，解得0＜x＜

1

2

或x＞1，
即函數(shù)的減區(qū)間為（0，

1

2

）和（1，+∞）．

點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，比較基礎，要注意定義域?qū)�單調(diào)性的影響．