Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（1）若對(duì)于區(qū)間[-2，2]上任意的兩個(gè)變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤C，求實(shí)數(shù)C的最小值．
（2）若過點(diǎn)（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意，對(duì)于區(qū)間[-2，2]上任意自變量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的最值即可得解．
（2）設(shè)切點(diǎn)，求出切線方程，過點(diǎn)M（2，m）（m≠2），可作曲線y=f（x）的三條切線，可得方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)g（x）=2x³-6x²+6+m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，從而可求實(shí)數(shù)m取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-3x，
求導(dǎo)得f′（x）=3x²-3，
∴f′（x）=0在[-2，2]上解為：x=±1，
f（-1）=2，f（1）=-2，f（-2）=-2，f（2）=2，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
∴要使對(duì)于區(qū)間[-2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
故c的最小值為4．
（2））∵點(diǎn)M（2，m）（m≠2）不在曲線y=f（x）上，
∴設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則y₀=x₀³-3x₀，
∵f′（x₀）=3x₀²-3，
∴切線的斜率為3x₀²-3，則3x₀²-3=

x03-3x0-m

x0-2

，
即2x₀³-6x₀²+6+m=0，
∵過點(diǎn)M（2，m）（m≠2），可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
即函數(shù)g（x）=2x₀³-6x₀²+6+m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
則g′（x）=6x²-12x，令g′（x）=0，解得x=0或x=2，

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由題意可得g（0）＞0，且g（2）＜0，
∴6+m＞0，且m-2＜0，解得：-6＜m＜2，
∴所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是-6＜m＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，以及極值，考查方程和函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，極值的符號(hào)與零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．