（2012•湖北模擬）已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=
2
AB，E為線段PD上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)E為PD的中點(diǎn)時，求證：BD⊥CE；
（2）是否存在E使二面角E-AC-D為30°？若存在，求
PE
ED
，若不存在，說明理由．
分析：（1）不妨設(shè)AB=
2
，則PA=AD=2，取AD的中點(diǎn)F，連EF，CF，則△BCD∽△CDF，從而可證BD⊥CF，根據(jù)EF∥PA，PA⊥平面ABCD，可得EF⊥平面ABCD，從而可證BD⊥CE；
（1）作EG⊥AD于G，過G作GH⊥AC于H，連EH，則∠EHG為二面角E-AC-D的平面角，設(shè)EG=x，則DG=x，可求HG=
2-x
3
，利用二面角E-AC-D為30°，可知存在點(diǎn)E滿足條件，且
PE
ED
=3
解答：（1）證明：不妨設(shè)AB=
2
，則PA=AD=2，取AD的中點(diǎn)F，連EF，CF．
則△BCD∽△CDF，∴∠DBC=∠DCF
∴∠DBC+∠BCF=∠DCF+∠BCF=90°
∴BD⊥CF
又EF∥PA，PA⊥平面ABCD
∴EF⊥平面ABCD
故由三垂線定理知BD⊥CE（5分）
（2）作EG⊥AD于G，過G作GH⊥AC于H，連EH，
則EH⊥AC，所以∠EHG為二面角E-AC-D的平面角．
設(shè)EG=x，則DG=x，
∴AG=2-x，又
HG
CD
=
AG
AC
，
∴
HG
2
=
2-x
6
，∴HG=
2-x
3
，
∴tan∠EHG=
EG
GH
=
3
x
2-x
=
3
3
，∴x=
1
2
，
所以存在點(diǎn)E滿足條件，且
PE
ED
=3（7分）
點(diǎn)評：本題考查線線垂直，考查線面角，考查存在性問題，解題的關(guān)鍵是利用三垂線定理，正確作出面面角．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上有一個頂點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)之間的距離分別為3+2
2
，3-2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），證明直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在一條確定的雙曲線上；
（3）過點(diǎn)Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R，若
RM
=λ
MQ
，
RN
=μ
NQ
，證明：λ+μ為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，點(diǎn)P在AM上，且滿足
AP
=2
PM
，則
PA
•(
PB
+
PC
)的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知函數(shù)y=g（x）的圖象由f（x）=sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜π）個單位得到，這兩個函數(shù)的部分圖象如圖所示，則φ=
π
3
π
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則公比q等于
1
3
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）函數(shù)f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為正常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式
x-m
f(x)
＞
x
成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x0，我們把|f（x0）-g（x0）|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

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