Question

已知菱形ABCD四個頂點對應的復數(shù)分別為4，2i，-4，-2i．
（1）復數(shù)z=x+yi（x，y∈R）滿足|z|≤6，求復數(shù)z對應的點Z落在菱形ABCD內部的概率；
（2）復數(shù)z=x+yi（x，y∈Z）滿足|x|≤4，|y|≤2．求復數(shù)z對應的點Z落在菱形ABCD外部的概率．

Answer 1

分析：（1）由于滿足|z|≤6所有的點Z的集合是一個圓面，菱形ABCD在其內部，分別求出其面積，利用幾何概型的概率計算公式即可得出．
（2）先求出滿足條件的所有整點的個數(shù)，再求出在菱形外部的整點的個數(shù)，利用古典概型的概率計算公式就看得出．

解答：解：（1）滿足|z|≤6所有的點Z的集合是一個圓面，其面積是36π．
菱形ABCD在其內部，且面積為16．                           
故復數(shù)z對應的點Z落在菱形內的概率為P=

16

36π

=

4

9π

．
（2）當復數(shù)z的實部與虛部x，y都是整數(shù)，且|x|≤4，|y|≤2時，
對應點Z共有9×5=45個．                                                                      
當x＞0，y＞0時，共有6個點在菱形ABCD外．由對稱性知，共有4×6=24個點在菱形外，
故復數(shù)z對應的點Z落在菱形外的概率是P=

24

45

=

8

15

．

點評：熟練掌握幾何概型的概率、古典概型的概率計算公式、及正確得出基本事件的總數(shù)和要求事件所包含基本事件的個數(shù)是解題的關鍵．