Question

如圖，有一塊拋物線形狀的鋼板，計劃將此鋼板切割成等腰梯形ABCD的形狀，使得A，B，C，D都落在拋物線上，點A，B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱且AB=4，拋物線的頂點到底邊AB的距離是4，記CD=2t，梯形面積為S．以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，其對稱軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求出鋼板輪廓所在拋物線的方程；
（2）求面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；
（3）求面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）以題意建立坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程，把B點坐標(biāo)代入拋物線方程求解p，則拋物線的方程可求；
（2）由CD=t，利用t表示出C點的坐標(biāo)，則等腰梯形ABCD的上底及高可用含有t的代數(shù)式表示，然后直接寫出梯形的面積公式，由梯形的上底長大于0小于4，且梯形的高大于0解得t的范圍；
（3）求出（2）中函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到極大值，也就是梯形面積的最大值．

解答：解：如圖，
（1）設(shè)鋼板輪廓所在拋物線的方程為：y²=2px（p＞0），
由圖得拋物線過點（4，2），代入y²=2px（p＞0），得p=

1

2

，
所鋼板輪廓所在拋物線的方程為y²=x．  
（2）由CD=2t，故可設(shè)C（t²，t），梯形高為4-t²，
梯形的面積S=

1

2

(2t+4)(4-t2)=-t3-2t2+4t+8，
又由

0＜2t＜4 4-t2＞0

，得0＜t＜2，故其定義域為（0，2）．
（3）由（2）知S=-t³-2t²+4t+8（0＜t＜2），S'=-3t²-4t+4，
令S'=0，得t=

2

3

，
列表如下：

由上表知面積S在t=

2

3

時取到極大值，又S在（0，2）只有一個極值點，
故極大值也為最大值，此時Smax=

256

27

．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解的方法，注意的是實際問題要有實際意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，注意極值與最值得關(guān)系，屬中檔題．