Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E為棱AB的中點，求：
（Ⅰ）D₁E與平面BC₁D所成角的大小；
（Ⅱ）二面角D-BC₁-C的大�。�
（Ⅲ）異面直線B₁D₁與BC₁之間的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 以A點為坐標原點，以AB，AD，AA₁方向為X、Y、Z軸正方向建立空間坐標系，分別求出直線D1E的方向向量及平面BC₁D的法向量，代入向量夾角公式即可求出直線BD與平面A₁BC₁所成角的余弦值．
（Ⅱ）先求出面BC₁D、面BC₁C 的一個法向量，根據(jù)向量所成的角得到結(jié)果．
（Ⅲ） 異面直線B₁D₁與BC₁之間的距離轉(zhuǎn)化成B₁D₁到面BC₁D，的距離，即為 B₁到面BC₁D，的距離，再利用向量法求出距離．

解答：解：（Ⅰ）以A點為坐標原點，以AB，AD，AA₁方向為X、Y、Z軸正方向建立空間坐標系，則E（1，0，0）D1（0，2，2）

ED1

=（-1.2，2）
B （2，0，0）D（0，2，0）C1（2，2，2）

BC1

=（0，2，2）

BD

=（-2，2，0）設(shè)面BC₁D的一個法向量為

n1

=（x，y，z）則

n1 • BC1 =0  n1 • BD =0

即

2y+2z=0 -2x+2y=0

取x=1得為

n1

=（1，1，-1），

ED1

與

n1

所成角的余弦值等于

n1 • ED1

| n1| | ED1 |

=

-1

3× 3

=-

3

9

，∴D₁E與平面BC₁D所成角θ的正弦值為

3

9

 
D₁E與平面BC₁D所成角的大小為arcsin

3

9

；
 （Ⅱ）易知面BC₁C的一個法向量

n2

=（1，0，0），兩法向量夾角余弦值為

n1 • n2

| n2 | ×  |n1 |

=

1

3

=

3

3

，又二面角D-BC₁-C是銳二面角，∴大小為arccos

3

3

（Ⅲ）∵BD∥B₁D₁，BD?面BC₁D，∴B₁D₁∥面BC₁D，，異面直線B₁D₁與BC₁之間的距離等于B₁D₁到面BC₁D，的距離，即為 B₁到面BC₁D，的距離，

BB1

=（0，0，2），

BB1

在

n1

方向上的投影為

n1 • BB1

| n1 |

=

2

3

=

2 3

3

，∴異面直線B₁D₁與BC₁之間的距離

2 3

3

點評：本小題主要考查空間線面角、二面角的度量、異面直線之間的距離．考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．