Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥面ABC，，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D為AA₁中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥面ABB₁A₁；
（2）在側(cè)棱BB₁上確定一點(diǎn)E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小為．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中側(cè)面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AB⊥面ACC₁A₁，進(jìn)而AB⊥CD，由AC=A₁C，D為AA₁中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得CD⊥AA₁，結(jié)合線面垂直的判定定理可得CD⊥面ABB₁A₁；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，由，可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（（1-λ）a，a，λa）．求出面A₁C₁A地一個(gè)法向量和平面EA₁C₁地一個(gè)法向量，根據(jù)二面角E-A₁C₁-A的大小為，構(gòu)造方程組，解出λ值后，可得E點(diǎn)的位置．
解答：證明：（1）∵AB⊥AC，面ACC₁A₁⊥面ABC，∴AB⊥面ACC₁A₁，即有AB⊥CD；
又AC=A₁C，D為AA₁中點(diǎn)，則CD⊥AA₁∴CD⊥面ABB₁A₁…（4分）
解：（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則有A（a，0，0），B（a，a，0），A₁（0，0，a），B₁（0，a，a）C₁（-a，0，a），設(shè)E（x，y，z），且，即有（x-a，y-a，z）=λ（-a，0，a），
所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（（1-λ）a，a，λa）．…（7分）
由條件易得面A₁C₁A地一個(gè)法向量為，設(shè)平面EA₁C₁地一個(gè)法向量為，由可得
令y=1，則有，…（10分）
則，得
所以，當(dāng)時(shí)，二面角E-A₁C₁-A的大小為…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理，（2）的關(guān)鍵是設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，求出面A₁C₁A地一個(gè)法向量和平面EA₁C₁地一個(gè)法向量，并根據(jù)二面角E-A₁C₁-A的大小為，構(gòu)造方程．