已知函數(shù)f(x)=lg(
2a1+x
-1)
(其中a>0).求證:
(1)用反證法證明函數(shù)f(x)不能為偶函數(shù);
(2)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是a=1.
分析:(1)假設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x),代入利用對(duì)數(shù)的性質(zhì),可得矛盾,即可得證;
(2)分充分性、必要性進(jìn)行論證,即可得到結(jié)論.
解答:證明:(1)假設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x),
lg(
2a
1-x
-1)
=lg(
2a
1+x
-1)
,即
2a
1-x
-1
=
2a
1+x
-1
,化簡得:
4ax
1-x2
=0
,
∴a=0,與條件a>0矛盾,
∴函數(shù)f(x)不能為偶函數(shù).…(7分)
(2)充分性:由a=1,函數(shù)f(x)=lg(
2
1+x
-1)
=lg
1-x
1+x

1-x
1+x
>0,∴-1<x<1,
又f(x)+f(-x)=lg
1-x
1+x
+lg
1+x
1-x
=lg1=0,
∴當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)為奇函數(shù).…(10分)
必要性:由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),即f(x)+f(-x)=0,
∴f(x)+f(-x)=lg(
2a-1-x
1+x
)
+lg(
2a-1+x
1-x
)
=0,化簡得(2a-1)2=1,
∵a>0,∴a=1,
∴當(dāng)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)時(shí),a=1.…(14分)
(注:必要性的證明也可由定義域的對(duì)稱性得到a=1)
點(diǎn)評(píng):本題考查反證法,考查充要性的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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