Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N₊）
（1）若b_n=a_n+1-2a_n，求b_n；
（2）若cn=

1

an+1-2an

，求{c_n}的前6項和T₆；
（3）若dn=

an

2n

，證明{d_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由已知利用遞推關(guān)系即可得出b_n+1=2b_n，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出b_n；
（2）利用（1）和等比數(shù)列的前n項和公式即可得出；
（3）利用等差數(shù)列的定義即可證明．

解答：解（1）∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N₊），
∴S_n+2=4a_n+1+2a_n+2=S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n），
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
即b_n+1=2b_n
∴{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，且b₁=a₂-2a₁
∵a₁=1，a₂+a₁=S₂
即a₂+a₁=4a₁+2，
∴a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=5-2=3，
∴bn=3•2n-1．
（2）∵cn=

1

an+1-2an

=

1

bn

=

1

3•2n-1

，
∴c1=

1

3•21-1

=

1

3

，∴cn=

1

3

•(

1

2

)n-1
∴{c_n}是首項為

1

3

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∴T6=

1 3 [1-( 1 2 )6]

1- 1 2

=

2

3

(1-

1

64

)=

61

96

．
（3）∵dn=

an

2n

，bn=3•2n-1，
∴dn+1-dn=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

bn

2n+1

即dn+1-dn=

3•2n-1

2n+1

=

3

4

，
∴{d_n}是等差數(shù)列．

點評：熟練掌握遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式、等差數(shù)列的定義是解題的關(guān)鍵．