Question

3．?dāng)?shù)列{x_n}中，x_n+1=$\frac{3{x}_{n}}{{x}_{n}+3}$（n∈N₊）．
（1）設(shè)a_n=$\frac{1}{{x}_{n}}$，求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）若x₁=$\frac{1}{2}$，求x_n．

Answer 1

分析 （1）由x_n+1=$\frac{3{x}_{n}}{{x}_{n}+3}$（n∈N₊），兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{x}_{n+1}}$-$\frac{1}{{x}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，即可證明．
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 證明：（1）由x_n+1=$\frac{3{x}_{n}}{{x}_{n}+3}$（n∈N₊），
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{x}_{n+1}}$-$\frac{1}{{x}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列是公差為$\frac{1}{3}$的等差數(shù)列．
解：（2）x₁=$\frac{1}{2}$，則a₁=2．
∴a_n=2+$\frac{n-1}{3}$=$\frac{n+5}{3}$，
∴x_n=$\frac{3}{n+5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．