(14分)已知是以點為圓心的圓上的動點，定點.點在上，點在上，且滿足．動點的軌跡為曲線.

    （Ⅰ）求曲線的方程；

(Ⅱ)線段是曲線的長為的動弦，為坐標(biāo)原點，求面積的取值范圍.

解析：（Ⅰ）

∴為的垂直平分線，∴,

又    ………………………………3分

∴動點的軌跡是以點為焦點的長軸為的橢圓.

∴軌跡E的方程為………………………………………………………5分

(Ⅱ) 解法一∵線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構(gòu)成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，

由，消去，并整理，得

設(shè)，，則

，  …………………………………………8分

，

，               ………………………………………………………11分

.　　　　　　　　　　　　　　　……………………………………12分

又點到直線的距離，

　……………………………………………13分

，

.          　　　　　　　…………………………………………14分

解法二：∵線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構(gòu)成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，

由，消去，并整理，得

設(shè)，，則

，  …………………………………………8分

，

                 ………………………………………………………11分

又點到直線的距離，

設(shè)，則

，

.          ……………………………………………………14分

（注：上述兩種解法用均值不等式求解可參照此標(biāo)準(zhǔn)給分）

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年山東卷文）（本小題滿分14分）

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為．記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點為頂點的橢圓．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點．

（1）若（為坐標(biāo)原點），當(dāng)點在橢圓上運動時，求點的軌跡方程；

（2）若是與橢圓的交點，求的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆廣東省高二上學(xué)期期末考試理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分）

已知橢圓過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓的左右頂點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.  

證明：以線段為直徑的圓恒過軸上的定點.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省四會市高三第三次統(tǒng)測文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知橢圓以坐標(biāo)原點為中心，坐標(biāo)軸為對稱軸，且該橢圓以拋物線的焦點為其一個焦點，以雙曲線的焦點為頂點。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點，且C、D分別為橢圓的上頂點和右頂點，點M是線段CD上的動點，求的取值范圍。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省高三11月月考文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知橢圓以坐標(biāo)原點為中心，坐標(biāo)軸為對稱軸，且該橢圓以拋物線的焦點為其一個焦點，以雙曲線的焦點為頂點。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點，且分別為橢圓的上頂點和右頂點，點是線段上的動點，求的取值范圍。

 

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