Question

一個(gè)正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，底邊長(zhǎng)為

2

，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為

 

．

Answer 1

分析：由題意球心到正三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等都為R，由于頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，故棱錐的高易求出，由此球心到底面的距離可以表示出，故可以利用球心到謀面的距離、球的半徑、底面中心到頂點(diǎn)的距離這個(gè)直角三角形利用勾股定理建立方程求出球的半徑．

解答：解：由題意設(shè)球的半徑為R，正三棱錐在底面的投影是底面的中心，
由于一個(gè)正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，底邊長(zhǎng)為

2

，故底面三角形的高為

6

2

，底面中心到底面三角形的頂點(diǎn)的距離是

2

3

×

6

2

=

6

3

故三棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離是

12-( 6? 3 )2

=

3

3

故球心到底面的距離是

3

3

-R，由幾何體的結(jié)構(gòu)知(

6?

3

)2+(

3?

3

-R)2=R2得R=

3

2

此球的表面積為4×π×(

3

2

)2=3π
故答案為3π

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積和表面積，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)三棱錐的幾何結(jié)構(gòu)求出球的半徑，再由公式求表面積．對(duì)幾何體空間結(jié)構(gòu)的透徹了解，是解立體幾何體的關(guān)鍵．