Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q＞0）．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）試求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若對任意大于1的正整數(shù)n，均有a_n＞b_n，求q的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將已知遞推關(guān)系變形，利用等比數(shù)列的定義，證得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）先利用等比數(shù)列的通項公式求出b_n，再用疊加法求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）將兩個數(shù)列的通項代入不等式得到關(guān)于d的不等式，將不等式因式分解，求出d的范圍．

解答：解：（1）由a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）得，a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=qb_n-1（n≥2）．
又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，b_n≠0．
所以，{b_n}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列
（2）由（1）有，b_n=q^n-1
又a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+q+…+q^n-2（n≥2）
所以，當(dāng)n≥2時，an=

1+ 1-qn-1 1-q ，q≠1 n，q=1.

．
上式對n=1顯然成立．故有an=

1+ 1-qn-1 1-q ，q≠1 n，q=1.

．
（3）q=1符合題意；
若q≠1，1+

1-qn-1

1-q

＞qn-1
(1-qn-1)(1+

1

1-q

)＞0

1-qn-1＞0 1+ 1 1-q ＞0

或

1-qn-1＜0 1+ 1 1-q ＜0.

解得：q∈（0，1）∪（1，2）．
綜上，q∈（0，2）..

點評：本題考查證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的方法是利用等比數(shù)列的定義；利用等比數(shù)列的前n項和的公式時，一定注意公比為1時要分類討論．