Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中點，F(xiàn)為線段PC上一點．
（Ⅰ）求證：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的 正切值為

7

2

，若二面角E-AF-C的余弦值為

3 13

13

，求

PF

PC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)條件得到△ABC為正三角形，結(jié)合E為BC的中點以及BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，從而得到AE與PD垂直．
（Ⅱ）以A為原點，AE，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面AFC、平面AEF的法向量，根據(jù)二面角E-AF-C的余弦值為

3 13

13

，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．
因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，所以AE⊥PD；
（Ⅱ）以A為原點，AE，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)AB=2，

PF

PC

=λ，則A（0，0，0），B（

3

，-1，0），D（0，2，0）
E（

3

，0，0），
過A作AH⊥PD，垂足為H，連接AH，則∠AHE為EH與平面PAD所成最大角，
∵EH與平面PAD所成最大角的正切值為

7

2

，AE=

3

∴AH=

2 21

7

，∴DH=

4 7

7

，∴PD=

7

∴PA=

3

∴P（0，0，

3

），F(xiàn)（

3

λ，λ，

3

(1-λ)），

DB

=（

3

，-3，0）為平面AFC的一個法向量
設(shè)平面AEF的法向量為

n1

=(x，y，z)，則

n1 • AE =0 n1 • AF =0

，即

3 x=0 3 λx+λy+ 3 (1-λ)=0

∴可取

n1

=(0，

3λ-3

λ

，

3

)
∵二面角E-AF-C的余弦值為

3 13

13

，
∴

3(1-λ)

2 4λ2-6λ+3

=

3 13

13

∴λ=

1

3

∴

PF

PC

=

1

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查空間角問題，掌握線面垂直的判定方法，正確運用向量法求空間角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．