Question

（14分）

如圖， ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

AB=4a，BC= CF=2a， P為AB的中點.

（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；

（2）求四面體PCEF的體積.

Answer 1

證明：

（1）因為ABCD為矩形，AB=2BC, P為AB的中點，

所以三角形PBC為等腰直角三角形，∠BPC=45°.     …………………………2分

同理可證∠APD=45°.

所以∠DPC=90°，即PC⊥PD.                       …………………………3分

又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD內(nèi)，所以PC⊥DE. ………………………4分 

因為DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE .                  …………………………5分

又因為PC在平面PCF內(nèi)，所以平面PCF⊥平面PDE.  …………………………7分

【解】（2）因為CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

所以DE//CF. 又DC⊥CF，

所以              ……………………… 10分

在平面ABCD內(nèi)，過P作PQ⊥CD于Q，則

PQ//BC，PQ=BC=2a.

因為BC⊥CD，BC⊥CF，

所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，

亦即P到平面PCEF的距離為PQ=2a.                  ………………………12分

           ………………………14分

（注：本題亦可利用求得）