Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=4a_n+1-4a_n（n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1-2a_n}成等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）將已知的遞推關(guān)系變形，利用等比數(shù)列的定義，證得數(shù)列{a_n+1-2a_n}成等比數(shù)列．
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n+1-2a_n=2^n-1，兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹，利用等差數(shù)列的定義得到{

an

2n

}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵a_n+2=4a_n+1-4a_n
∴a_n+2-2a_n+1=2a_n+1-4a_n=2（a_n+1-a_n）
又a₂-2a₁=1
即

an+2-2an+1

an+1-2an

=2
∴數(shù)列{a_n+1-2a_n}是以1為 首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
（2）由（1）知a_n+1-2a_n=2^n-1
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

4

又

a1

2

=

1

2

∴

an

2n

=

1

2

+

1

4

(n-1)=

n+1

4

∴a_n=（n+1）2^n-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明數(shù)列是等比數(shù)列常用數(shù)列的方法：是定義法與等比中項(xiàng)的方法；注意構(gòu)造新數(shù)列是求數(shù)列的通項(xiàng)的常用的方法．