Question

設f（x）=|2x-1|，若不等式f（x）≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

對任意實數(shù)a≠0恒成立，則x取值集合是

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式

分析：把f（x）看作是一個參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求

|a+1|-|2a-1|

|a|

的最大值，再把此式看作是關于a的函數(shù)，通過分段處理的方式，可獲得最值．

解答： 解：∵不等式f（x）≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

對任意實數(shù)a≠0恒成立，
∴f（x）大于或等于

|a+1|-|2a-1|

|a|

的最大值，
令g（a）=

|a+1|-|2a-1|

|a|

，則當a≤-1時，g（a）=-1+

2

a

；
當-1＜a＜0時，g（a）=-3；
當0＜a＜

1

2

時，g（a）=3；
當a≥

1

2

時，g（a）=-1+

2

a

，
即g（a）=

-1+ 2 a ，a≤-1 -3，-1＜a＜0 3，0＜a＜ 1 2 -1+ 2 a ，a≥ 1 2

∴g（a）有最大值g（

1

2

）=-1+

2

1 2

=3．
∴f（x）≥3，即|2x-1|≥3，解得x≤-1或x≥2．
故答案為{x|x≤-1或x≥2}．

點評：本題屬于恒成立問題，解決本題的關鍵有兩個：
（1）弄清誰是參數(shù)
我們習慣上把a當作參數(shù)，但由于本題是“對任意實數(shù)a≠0恒成立”，所以不等式f（x）≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

應看作是關于a的不等式；
（2）如何去絕對值符號
求函數(shù)g（a）=

|a+1|-|2a-1|

|a|

的最大值時，采用了分段處理的方法，分段的依據(jù)是以三個臨界點-1，0，

1

2

為準則進行討論，從而順利地去掉了絕對值符號．