Question

（2013•菏澤二模）已知函數(shù)①y=sinx+cosx，②y=2

2

sinxcosx，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A．兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)（-

  π

  4

  ，0）成中心對(duì)稱
• B．①的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，再向右平移

  π

  4

  個(gè)單位即得②
• C．兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間（-

  π

  4

  ，

  π

  4

  ）上都是單調(diào)遞增函數(shù)
• D．兩個(gè)函數(shù)的最小正周期相同

Answer 1

分析：①函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)為一個(gè)角的正弦函數(shù)；②函數(shù)解析式利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)為一個(gè)角的正弦函數(shù)，然后分別對(duì)各項(xiàng)判斷即可．

解答：解：①y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），②y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x，
A、①中的函數(shù)令x+

π

4

=kπ（k∈Z），解得：x=kπ-

π

4

（k∈Z），故（-

π

4

，0）為函數(shù)對(duì)稱中心；
②中的函數(shù)令2x=kπ（k∈Z），解得：x=

kπ

2

（k∈Z），故（-

π

4

，0）不是函數(shù)對(duì)稱中心，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、①向右平移

π

4

個(gè)單位，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的

1

2

倍，即得②，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、①令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，故函數(shù)在區(qū)間（-

π

4

，

π

4

）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
②令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解得：-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，故函數(shù)在區(qū)間（-

π

4

，

π

4

）上是單調(diào)遞增函數(shù)，本選項(xiàng)正確；
D、①∵ω=1，∴T=2π；
②∵ω=2，∴T=π，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性及周期性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．