Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且3S_n=4a_n-4ⁿ⁺¹-4（n∈N^*），令bn=

an

4n

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若f（n）=a_n-2（n∈N^*），用數(shù)學(xué)歸納法證明f（n）是18的倍數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由3S_n=4a_n-4ⁿ⁺¹-4（n∈N^*），得出當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn-1=4an-1-4n-4，兩式相減，整理得出an= 4an-1+3×4n，易證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）f（n）=（3n+2）•4ⁿ-2，按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，3S1=4a1-42-4，∴a₁=20
當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn-1=4an-1-4n-4
∴3Sn-3Sn-1=4an -4an-1-3×4n
即an= 4an-1+3×4n
b_n-b_n-1=

an

4n

-

an-1

4n-1

=3
所以數(shù)列{b_n}是以3為公差的等差數(shù)列，首項(xiàng)b₁=

a1

4

=5
數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=5+（n-1）×3=3n+2．
得出a_n=（3n+2）•4ⁿ
（Ⅱ）f（n）=（3n+2）•4ⁿ-2
①當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=18，顯然能被18整除；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，f（k）=（3k+2）•4^k-2能被18整除，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（k+1）=（3k+3+2）•4^k+1-2=4×（3k+2）•4^k-2+3×4^k+1
=（3k+2）•4^k-2+12×4^k+3×（3k+2）•4^k
=（3k+2）•4^k-2+（9k+18）•4^k
=f（k）+9（k+2）•4^k
∵k≥1，∴9（k+2）•4^k能被18整除．
又f（k）能被18整除，∴f（k+1）能被18整除．
即 當(dāng)n=k+1時(shí) 結(jié)論成立．
由①②知，當(dāng)n∈N^*時(shí)，f（n）是18的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的判定、通項(xiàng)公式求解，考查變形構(gòu)造、轉(zhuǎn)化計(jì)算能力．還考查數(shù)學(xué)歸納法．