Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-a²x+1，g（x）=1-4x-ax²，其中實數(shù)a≠0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）與g（x）在區(qū)間（-a，-a+2）內(nèi)均為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0可求函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0可求函數(shù)的減區(qū)間，注意討論a的正負．
（2）分別求出函數(shù)f（x）與g（x）的單調(diào)區(qū)間，然后令（-a，-a+2）為二者單調(diào)增區(qū)間的子集即可．
解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax-a²，
又3x²-2ax-a²=3（x-a）（x+），
令f′（x）=0，得x₁=a，x₂=-．…（2分）
①若a＞0，則當(dāng)x＜-或x＞a時，f′（x）＞0，
當(dāng)-＜x＜a時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，-）和（a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-，a）內(nèi)是減函數(shù)．…（5分）
②若a＜0，則當(dāng)x＜a或x＞-時，f′（x）＞0，
當(dāng)a＜x＜-時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，a）和（-，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
在（a，-）內(nèi)是減函數(shù)．…（8分）
（2）當(dāng)a＞0時，f（x）在（-∞，-）和（a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，g（x）=-a（x+）²+1+，
故g（x）在（-∞，-）內(nèi)是增函數(shù)，
由題意得
解得a≥3．…（11分）
當(dāng)a＜0時，f（x）在（-∞，a）和（-，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
g（x）在（-，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
由題意得
解得a≤-．…（15分）
綜上知實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-]∪[3，+∞）．…（16分）
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負情況之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增是一道綜合題．