Question

設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2x+1+mlnx，（m∈R）
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求過(guò)點(diǎn)P（0，1）且與曲線y=g（x）-（x-1）²相切的切線方程
（Ⅱ）求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間
（Ⅲ）若函數(shù)y=g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)a，b，且a＜b，記[x]表示不大于x的最大整數(shù)，試比較sin

[g(a)]

[g(b)]

與cos[g（a）][g（b）]的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出曲線y=lnx，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，lnx₀），這樣曲線的 斜率為

1

x0

，所以能表示出過(guò)點(diǎn)P（0，1）的切線方程，再根據(jù)切線過(guò)切點(diǎn)即可求出x₀，從而求得切線方程．
（Ⅱ）求g′（x），解g′（x）≥0，通過(guò)討論m即可求得該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅲ）令g′（x）=0，便得2x²-2x+m=0，該方程的根便是a，b，且b=

1+ 1-2m

2

，（

1

2

＜b＜1），并通過(guò)求g′（b），判斷g′（x）的符號(hào)，從而判斷該函數(shù)在（

1

2

，1）上的單調(diào)性，求得g（b）的取值范圍，根據(jù)取值范圍便能求得[g（b）]；用同樣的辦法求出[g（a）]，求出sin

[g(a)]

[g(b)]

與cos[g（a）][g（b）]，即可比較二者的大小．

解答： 解：（Ⅰ）曲線方程為y=lnx，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，lnx₀）；
由y′=

1

x

得切線的斜率k=

1

x0

，則切線方程為y-lnx0=

1

x0

(x-x0)；
∵切線過(guò)點(diǎn)P（0，1），∴1-lnx₀=-1，即x₀=e²；
∴所求切線方程為e^-2x-y+1=0．
（Ⅱ）函數(shù)y=g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），g′(x)=2x-2+

m

x

=

2x2-2x+m

x

．
令g′（x）＞0，并結(jié)合定義域得2x²-2x+m＞0；
對(duì)應(yīng)一元二次方程的判別式△=4（1-2m）．
①當(dāng)△≤0，即m≥

1

2

時(shí)，g′（x）≥0，則函數(shù)g（x）的增區(qū)間為 （0，+∞）；
②當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）的增區(qū)間為 （0，

1- 1-2m

2

)，(

1+ 1-2m

2

，+∞)；
③當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）的增區(qū)間為 (

1+ 1-2m

2

，+∞)．
（Ⅲ）g′(x)=2x-2+

m

x

=

2x2-2x+m

x

，令g′（x）=0得2x²-2x+m=0；
由題意知方程有兩個(gè)不相等的正根a，b（a＜b），則

△=4(1-2m)＞0 m 2 ＞0

解得0＜m＜

1

2

，解方程得b=

1+ 1-2m

2

，則

1

2

＜b＜1．
又由2b²-2b+m=0得m=-2b²+2b，
所以g（b）=b²-2b+1+mlnb=b²-2b+1+（-2b²+2b）lnb；b∈(

1

2

，1)．g′(b)=2b-2+(-4b+2)lnb+2-2b=-4(b-

1

2

)lnb
當(dāng)b∈(

1

2

，1)時(shí)，g′（b）＞0，即函數(shù)g（b）是(

1

2

，1)上的增函數(shù)；
所以

1-2ln2

4

＜g(b)＜0，故g（b）的取值范圍是(

1-2ln2

4

，0)．
則[g（b）]=-1．
同理可求0＜a＜

1

2

，g（a）=a²-2a+1+（-2a²+2a）lna；
a∈(0，

1

2

)，g′(a)=-4(a-

1

2

)lna＜0，即函數(shù)g（a）是(0，

1

2

)上的減函數(shù)；
∴

1-2ln2

4

＜g(a)＜1，故g（a）的取值范圍是(

1-2ln2

4

，1)
則[g（a）]=-1或[g（a）]=0；
當(dāng)[g（a）]=-1時(shí)，sin

[g(a)]

[g(b)]

＞cos（[g（a）][g（b）]）；
當(dāng)[g（a）]=0時(shí)，sin

[g(a)]

[g(b)]

＜cos（[g（a）][g（b）]）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在函數(shù)曲線上一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)和過(guò)該點(diǎn)的切線的斜率的關(guān)系，函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的極值點(diǎn)和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．對(duì)于第三問(wèn)，能正確求出a，b的取值范圍是求解本問(wèn)的關(guān)鍵．