精英家教網(wǎng)直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D、E分別為AB、BB′的中點(diǎn)．
（1）求證：CE⊥A′D；
（2）求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．
分析：（1）先
CA
=a，
CB
=b，，
CC
=c建立一個(gè)基底，再用基底表示
CE
，
A′D
，然后計(jì)算其數(shù)量積，可得答案；
（2）由（1）表示
A′C
，
CE
=|
5
2
|，再用向量的夾角求解．
解答：解：（1）證明：設(shè)
CA
=a，
CB
=b，
CC′
=c，
根據(jù)題意，|a|=|b|=|c|且a•b=b•c=c•a=0，
∴
CE
=b+
1
2
c，
A′D
=-c+
1
2
b-
1
2
a．
∴
CE
•
A′D
=-
1
2
c2+
1
2
b2=0．
∴
CE
⊥
A′D
，即CE⊥A′D．
（2）
A′C
=-a+c，∴|
A′C
|=
2
|a|，|
CE
|=
5
2
|a|．
A′C
•
CE
=（-a+c）•（b+
1
2
c）=
1
2
c2=
1
2
|a|2，
∴cos＜
A′C
，
CE
＞=
1
2
|a|2
2•
5
2
|a|2
=
10
10
．
即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為
10
10
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量法解決空間幾何中的直線與直線垂直和異面直線所成的角．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)棱AA′=4，底面三角形ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大��；
（Ⅲ）求直線B′D與平面AB′C所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•遼寧）如圖，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，點(diǎn)M，N分別為A'B和B'C'的中點(diǎn)．
（I）證明：MN∥平面A'ACC'；
（II）若二面角A'-MN-C為直二面角，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•瀘州一模）如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=BC=CA=a，AA′=
2
a，則AB′與側(cè)面AC′所成角的大小為
30°
30°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直線B′C與平面ABC成30°角．
（1）求證：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案